关于执行

刘某（女）与甲结婚数年，生有两女。大女今年14岁，小女7岁（由于违反计划生育，至今没有户口），夫妻俩两年前一直在广州打工，可是由于甲有外遇，二人与于2003年离婚，在家乡的人民法庭判决离婚，判决书上载明，小女由刘某抚养，甲有过错赔偿刘某人民币5000元，及小女的一次性抚养费14000元，共计19000元，但是一直没有执行，原因是甲去广州打工，跟第三者结婚，租房子住，有一定的收入，但不易找不到人，家里没什么财产可执行，而小女又被甲的母亲藏起来，刘某事实上也丧失了对小女的监护权。刘某给当地人民法院的执行庭交了1000元，要求执行，可是对方一直以暂时不能执行为由推迟。并以执行费用昂贵，去广州即使能找到甲，但路费，住宿费，饭钱都要刘某出，让刘某感到不划算，而主动放弃。判决书不能执行，法律岂不是一张白纸，法律的威严何在？
请问该案该如何处理？