女方婚内私生子可以向孩子亲生父亲索要抚养费吗？

我一同学女性，婚内儿子是与情人生的，如今孩子十岁，情人从未付过任何抚养费用。因女同学家庭困难，丈夫有病，孩子要上学，生活窘迫，如今想向绝情情人索要孩子抚养费，但自己是属已婚，不知道在女方并未离婚这样的情况下，可以起诉索要孩子的抚养费吗？孩子十岁以前的抚养费可以一并索要吗？谢谢律师能答复一下。
补充提问：
可情人是不可能同意去做亲子鉴定的，但他心里明白孩子是自己的，在孩子刚生下来时，他也买过一些小金额（几百元）的东西给孩子，然后陆续给过两三千元钱，后来因他家需要花钱，就没有给过。女方有时也打电话恳请他能在经济上稍微帮助自己一下，可他总是说没钱，连一两千元也没有，可他的收入稳定且高，工作单位相当好，是国家垄断部门。
请问，如果他拒绝做亲子鉴定，那怎么办？