母亲的遗产房是否可以过户给我

我的母亲去世8年了，我是母亲的独生女儿，外公外婆都已经去世，父母同居20多年没有办结婚证，因为父亲有原配合法妻子并与之有一儿子两女儿，父母同居期间购买了一套房子登记在母亲名下，母亲去世前留下一份没有公正的遗嘱说名下财产归我一人所有。
请问：1、父母之间是否存在事实婚姻？如果父亲现在突然去世，这套房产是否要分给别人一部分？
2、如果这套房产与父亲没有关系，房产证在父亲手里不肯给我，我是否可以去补办？补办的话需要什么手续？
3、我是否可以把这套房产直接过户到我名下？如果可以需要什么手续，去哪办理？费用大概多少（房子价值30万左右）？
补充提问：
有个问题是母亲的遗嘱是代写遗嘱，而且只有代写人的名字和我母亲的亲笔签名，不知道是否有效，能不能去公证？还有我母亲也离过婚，房子是在离婚后买的，我去办理过户的时候为避免麻烦是否可以说我的父亲是那个和我母亲离了婚的人呢？