关于孩子上户籍

您好，我想咨询以下问题：我刚结婚，但是我妻子是带着两周岁的孩子嫁给我的，我和妻子已经办了结婚证。
首先，我妻子之前的婚姻没有办理结婚证，可是孩子是上过户籍的，是在孩子生父的户籍上,他们是协议分手。
现在我们想给孩子上户，但是出生证上是孩子生父的姓，担心影响孩子的未来，想要重新上户，可出生证上的信息不想公开，想要重新办理出生证，问过医院，对方说因为出生证上有当时父母的身份信息，就算重新办理，但是孩子母亲的信息不可重复！联系生父后，对方始终不同意，故意为难，该怎么办呢？明年孩子就要上学了！
希望您可以给个可以解决问题的办法！