打架纠纷

我爷爷与别人因小事起争执，争执过程：我爷爷不让对方在此地放鸭子，用手拦着，对方便将我爷爷推倒在地，我爷爷倒地后便骂了他，对方于是上前揍我爷爷，并将一大拇指塞进我爷爷嘴里，试图抠其喉咙，我爷爷见状便咬了对方大拇指，将其指甲所到地方咬断了，当时对方便去做检查，我爷爷因没有做检查（对方的儿子一直在现场。但没有劝架）。20天后对方鉴定结果为轻伤，话费药费4000元，现在对方要求我爷爷赔偿2万元。说我爷爷这属于故意伤害。
疑问：我爷爷是故意伤害还是正当防卫？应该赔偿多少？我爷爷的行为构成了刑事犯罪吗？我爷爷现在还需要去检查自己身体吗？
期望您的回信，衷心谢谢您！