婚前一方贷款买房，卖房方是否可以全权处理房子呢？

我的母亲买了一套房子，首付了60%，然后贷款了2万元（我母亲名字贷款），支付剩余的40%和房子的装修。一年后我母亲与甲结婚，甲有一儿子。2万元是甲和我母亲婚后一起偿还。现在贷款已经还完，去办理房产证，房产证只有我母亲的名字，而且房产证已经办好。婚前没有财产公证。我想咨询一下：
1、假如我母亲去世，甲和他儿子是不是有继承权？
2、这房子是不是婚前财产？我母亲对这房子是否可以自由处理，如果把房子转给我和我妹妹，房产证只有我和我妹妹的名字，甲对这房子还有继承权吗？
3、在这种情况下，我想这房子属于我和妹妹应该怎么办呢？
补充提问：
4 我母亲是否可以不通过他把房子转到我和妹妹名下？共同还贷款的一半是否要还给他?