公司解雇，但不肯赔偿，求助。

我所在的公司是在北京注册，叫宇天广告。然后在深圳招人，我2011年3月在深圳入职，4月开始签订正式劳动合同，合同是属宇天广告的。
11年8月，我调到广州办事处上班。
2012年，广州办事处重新注册了家叫做轩瑞的广告公司，4月的时候，我去年的合同已经到期，但是公司没续签。5月，公司将我辞退，并以合同过期为由不肯赔偿。
而11年3月-12年5月，公司都没有购买任何社保之类。
现在我想申请劳动仲裁，上诉此公司未买任何保险、辞退员工不赔偿等，具体需要到什么材料和我能够申请哪一方面的赔偿，想咨询，谢谢了。
补充提问：
谢谢魏律师的回答，有些情况我还是不太清晰。
1，申请劳动仲裁要求违法解除劳动合同的赔偿金，这方面，因为我的合同4月到期了，而且没有续签，这个属于什么情况呢。当时要求续签，老板一直在拖。而且当时签的公司不是现在注册公司，也没关系的吗？
2，工资条是网上邮件开具的，也具有法律作用吧？还有需不需要当时发工资的银行单据呢？
3，去申请的时候，私人去就可以吗，需不需要请了律师的？
4，一般多久申请会有回复，到时候会以什么方式向原公司追讨赔偿呢？

这个方面我没有经验，能在这里得到帮助，太感谢了。