难道上海事业单位猖狂到可以不受劳动法制约？

我是一家上海公立医院的正式员工（有编制），最近递交辞职申请（3月7日），被人事告知不批准辞职，说“我不批准的话，可以要求你继续工作半年，这点不违反《劳动法》”。可是劳动法不是规定辞职递交一个月后自动生效的吗？
另外，我已找到另一家单位，需要我3月26日前报到，我以身体不适为由（确实是身体不好，身边人都知道），提出请假两周（3月9日），竟然人事不予批准，拐着弯说我装病……
请问在我已递交辞职申请的情况下，除了公休可以用之外，可以请病假吗？是否一个月之后（4月7日）可以离职？还是必须要等到半年之后才能离职？