老人房产更名

背景：
目前父母住的房子是老人留下来的，老人有2个孩子，我父亲与叔叔两人
老人有2个房子，1个房子与父母一起住的，是单位分的，后续房改房买的产权，因一直照顾老人至离世，老人在世的时候手写一份遗嘱，该房子归父母，但遗嘱未公证（有老人笔记可核对），另1个房子是给叔叔的，叔叔目前已去世，当时去世后房子已办理完毕过户，叔叔有1个女儿，遗嘱中也写了给叔叔家这个房子。

诉求：
我父母能否通过法律途径全部继承老人名下的这个房产，将此房产更名为父亲的名字，谢谢！