故意伤害的公诉案件，法院还能被告提出重新鉴定吗？

在检察院的公诉阶段，被告曾对公安局鉴定的轻伤害提出一次重新鉴定，但却鉴定了两次。第一次在呼和浩特市第一医院司法鉴定所鉴定意见为专家意见不同意，不予鉴定，退案（不走公安程序）；第二次在鄂尔多斯市公安司法鉴定中心的鉴定意见为案情疑难，不予鉴定（走公安程序）。案件在公安阶段，应该是不服旗、县公安鉴定，到市级（地区）公安鉴定，如不服，再到自治区公安厅鉴定，如不服，再到公安部鉴定，是吗？
补充提问：
故意伤害的公诉案件，法院还能允许被告提出重新鉴定吗？