宠物狗被车撞死，如何理赔

今天早上我骑自行车带宠物狗去买菜，在菜场旁边的村道上，我没有绑狗链，狗狗后来跟得离我有点远，突然我听到一声尖叫，转身一看，狗狗已经被一辆本田轿车压得口里吐出全是血，眼睛都瞪大了，抽筋了几下直接死了。本打算和肇事者协商解决，但是他不肯，执意要打交警电话解决，后来交警过来了，取证现场，开了道路交通事故认定书（简易程序），还说让保险公司核定赔偿，但是估计他们是不可能认真处理的。现在真的很心疼，很心疼的，想哭又哭不出。回到家里，已经没有迎接我的狗狗，家里到处是狗狗的影子，心痛的快要死去了，买狗我没有发票，养狗证我也没办，但是好歹狗也是有生命的，能告诉我，肇事者该不该受到惩罚？肇事者是否应赔偿我宠物狗被车撞死造成的经济损失，我应该怎么做。