续签合同时，提出降职，是否违反原合同？

我于2006年6月应聘到一家公司任董事会秘书（未上市，但《章程》规定和实际都是按高管待遇执行。）第一次签订合同时因为当届董事会任期是次年的1月，所以第一次签订的期限是从工作开始到当届董事会任期结束（2006年6月至2007年1月，我理解实际上已经默认劳动合同期与董事会聘期一致）。第一份合同到期后公司没有续签，但一切按以往执行，相当于合同正常执行。后来在2008年中期人事部门拿来合同，让我签，其间公司没有任何人向我解释和协商。第二份合同期限是2008年8月到2009年3月底。人事部门给我的解释是第二份合同忘了签了。我当时认为只是履行程序，就签了。2009年初，人事部门又拿来一份合同让我签，期限是2009年4月到2009年12月。以上三份合同均注明是固定期限合同。
最近，公司领导找我谈话，说下一届董事会不准备聘我做董事会秘书，而且不能享受高管待遇。

我想咨询的问题是：
1、已经连续签订了三次合同，合同到期后我是否可以坚持继续签订？
2、第一次合同到期后没有及时续签，虽然没有造成损失，公司有无责任？
3、已经工作了三年多，公司可以以“不胜任工作”为由拒绝续签合同吗？
4、“沟通能力不够”可以做为不胜任工作的理由吗？
5、第二次和第三次签订的不足一年的合同期限是否合适？
6、公司如果现在提出下一合同期工作调整，不专设董事会秘书，由高管降为中层，我的利益如何保障？这是否违背了当初合同的约定？
7、合同上未明确岗位（只写了“管理”岗位），也未明确待遇。是否可按实际执行？