孩子监护权的问题

我和丈夫由于家庭暴力问题导致感情破裂,现在正在商讨离婚的事情,我与丈夫已经分居了一年,有个两周岁半的女孩,孩子一直跟着我生活,婆婆发信息来告诉我,如果要离婚，孩子可以跟着我,但是要把监护权主权给他们,我不明白,就算离婚,对孩子的监护权应该是双方不变的,依然是双方父母吧?为什么她要求我把监护权主权给他们呢?我有几个问题想问:
1:我想问一下,如果孩子跟着我,监护权应该是给我的吗?还是我和丈夫都是监护人,只是在遇到什么事情的时候,跟孩子生活的我方决定权更大,我是监护权主控方,是这个道理吗?这就是婆婆口中的"主权"吗? 请律师答复我,监护权是否有个主次之分呢?
2:户口跟监护权应该没有什么关系吧?落在哪边都跟监护权没有关联的,对吧?
3:我听说过"监护权" ,但是没有听说过"监护权主权".可以解释一下吗?父母是孩子第一监护人,如果父母离异,跟孩子生活一起的一方就拥有"监护权主权"吗?另一方也是监护人,只是监护权主权一方是主要控制方,.对吗?
4:如果孩子跟我过生活,我把监护权给另一方,是不是不合常理呢?这样做的话,他们完全可以中途将孩子带走,我也没有办法呢?
盼复:谢谢!