关于离婚后孩子抚养费

你好，我于2014年11月协议离婚，在民政局签的离婚协议没有通过律师。

协议上写赔偿女方五万元，并每个月付给女方孩子的抚养费1500元，抚养权是我男方。

由于我长年在国外工作，无法养孩子，所以我每年都付给女方协议上规定的钱，孩子暂时由女方代管。

后来有的朋友告诉我，女方也有义务付孩子的抚养费，并且可以男女双方各付一半，请问我如果起诉她，可以得到公证的法判吗？而且听说1500块太多了，并不是法律规定的额度，赔偿给女方的那五万也是没有理由的，因为我没有赔偿她的理由，并且过错方是女方，她在我出国期间跟别的男人同居了。
另外，女方在没有经过我同意的前提下，把孩子扔给了生活在农村的爷爷，爷爷年世已高不能照顾孩子，这样是不是不合法，因为爷爷本身并无照顾孩子的直接义务。

我可以告她遗弃罪吗？